Question

17．已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，若橢圓的短軸長(zhǎng)為雙曲線虛軸長(zhǎng)的2倍，則$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的最大值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的短半軸是b₁，雙曲線的虛半軸是b₂，半焦距都是c，由此求出橢圓與雙曲線的離心率e₁、e₂；再求$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出它的最大值即可．

解答 解：設(shè)橢圓的短半軸是b₁，雙曲線的虛半軸是b₂，它們的半焦距都是c；
則b₁=2b₂，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸是a₁=$\sqrt{{_{1}}^{2}{+c}^{2}}$=$\sqrt{{{4b}_{2}}^{2}{+c}^{2}}$，
雙曲線的實(shí)半軸是a₂=$\sqrt{{c}^{2}{{-b}_{2}}^{2}}$；
∴橢圓的離心率為e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
雙曲線的離心率為e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$；
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+$\frac{{a}_{2}}{c}$
=$\frac{\sqrt{{{4b}_{2}}^{2}{+c}^{2}}}{c}$+$\frac{\sqrt{{c}^{2}{{-b}_{2}}^{2}}}{c}$
=$\sqrt{{4（\frac{_{2}}{c}）}^{2}+1}$+$\sqrt{{1-（\frac{_{2}}{c}）}^{2}}$；
∵0＜b₂＜c，
∴0＜$\frac{_{2}}{c}$＜1，
設(shè)$\frac{_{2}}{c}$=x，x∈（0，1），
則函數(shù)y=$\sqrt{{4x}^{2}+1}$+$\sqrt{1{-x}^{2}}$，x∈（0，1）；
求導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{2}$•$\frac{8x}{\sqrt{{4x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{-2x}{\sqrt{1{-x}^{2}}}$，
令y′=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為y_max=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的最大值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了構(gòu)造函數(shù)方法以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題，是綜合性題目．