【題目】橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為 ,過(guò)點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 ,直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓交于不同的A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若在橢圓C上存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足: (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知得 , ,又a2=b2+c2,聯(lián)立解得 .
故所求橢圓C的方程為 .
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0)
當(dāng)λ=0時(shí)由 知, ,A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),存在Q滿(mǎn)足題意,∴λ=0成立.
當(dāng)λ≠0時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m.
聯(lián)立 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由△=(4km)2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0解得m2<1+2k2…(*)
∴ , .
由 ,得(x1+x2,y1+y2)=(λx0,λy0),可得x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
∴ ,
代入到 得到 ,
代入(*)式 ,
由1+2k2>0得λ2<4,解得﹣2<λ<2且λ≠0.
∴綜上λ∈(﹣2,2).
【解析】(1)由已知得 , ,又a2=b2+c2 , 聯(lián)立解得即可.(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),Q(x0 , y0),分類(lèi)討論:當(dāng)λ=0時(shí),利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可得出;λ≠0時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m.與橢圓的方程聯(lián)立得到△>0及根與系數(shù)的關(guān)系,再利用向量相等,代入計(jì)算即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,過(guò)AD的平面分別交PB,PC于M,N兩點(diǎn).
(1)求證:MN∥BC;
(2)若M,N分別為PB,PC的中點(diǎn),
①求證:PB⊥DN;
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=2,直線(xiàn)l:y=kx﹣2.
(1)若直線(xiàn)l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng) 時(shí),求k的值;
(2)若 是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作圓O的兩條切線(xiàn)PC、PD,切點(diǎn)為C、D,探究:直線(xiàn)CD是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)則求出該定點(diǎn),若不存在則說(shuō)明理由;
(3)若EF、GH為圓O:x2+y2=2的兩條相互垂直的弦,垂足為 ,求四邊形EGFH的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2014年“五一節(jié)”期間,高速公路車(chē)輛較多,交警部門(mén)通過(guò)路面監(jiān)控裝置抽樣調(diào)查某一山區(qū)路段汽車(chē)行駛速度,采用的方法是:按到達(dá)監(jiān)控點(diǎn)先后順序,每隔50輛抽取一輛,總共抽取120輛,分別記下其行車(chē)速度,將行車(chē)速度(km/h)分成七段[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95)后得到如圖所示的頻率分布直方圖,據(jù)圖解答下列問(wèn)題:
(1)求a的值,并說(shuō)明交警部門(mén)采用的是什么抽樣方法?
(2)求這120輛車(chē)行駛速度的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.1);
(3)若該路段的車(chē)速達(dá)到或超過(guò)90km/h即視為超速行駛,試根據(jù)樣本估計(jì)該路段車(chē)輛超速行駛的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下命題:
①若x≠1或y≠2,則x+y≠3;
②若空間向量 , 與空間中任一向量都不能組成空間的一組基底,則 與 共線(xiàn);
③命題“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”;
④若A、B為兩個(gè)定點(diǎn),K為正常數(shù),若|PA|+|PB|=K,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓;
⑤已知拋物線(xiàn)y2=2px,以過(guò)焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切.
其中真命題有( )個(gè).
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位:元).
(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用= )
(1)寫(xiě)出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該樓房應(yīng)建造多少層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少?最少值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)P是雙曲線(xiàn) ﹣y2=1的右支上一點(diǎn),M、N分別是(x+ )2+y2=1和(x﹣ )2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|﹣|PN|的最大值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E的平面α垂直于平面SAC.
(1)請(qǐng)作出平面α截四棱錐S﹣ABCD的截面(只需作圖并寫(xiě)出作法);
(2)當(dāng)SA=AB時(shí),求二面角B﹣SC﹣D的大。
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