Question

已知函數(shù) f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）內(nèi)，求使關(guān)系式f(x)＞f(

1

3

)成立的實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)分式函數(shù)分母不能為零和對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定義域關(guān)于原點對稱，再分析f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（Ⅲ）先證明f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即在給定的區(qū)間上任取兩個變量，且界定其大小，再作差變形，再與零進行比較，關(guān)鍵是變形到位用上條件．最后利用單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）有意義，需

x≠0 1+x 1-x ＞0

解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函數(shù)定義域為x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（-x）=f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-

1

x

+log2

1+x

1-x

=-f(x)，
又由（1）已知f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，∵

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴

1

x1

-

1

x2

＞0①
又

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴0＜

1+x1

1-x1

＜

1+x2

1-x2

；
∴log2

1+x1

1-x1

＜log2

1+x2

1-x2

．②
由①②，得f(x1)-f(x2)=(

1

x1

-

1

x2

)+(log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

)＞0，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)為減函數(shù)；
又f(x)＞f(

1

3

)，∴使f(x)＞f(

1

3

)成立x的范圍是0＜x＜

1

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，涉及到定義域的求法，要注意分式函數(shù)，根式函數(shù)和基本函數(shù)的定義域；還考查了奇偶性的判斷，要注意定義域．