Question

 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

Answer 1

解析:

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線．

解：因?yàn)?nbsp; AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以  AB∥平面CPD．

又  P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此  平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以  二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角．

因?yàn)?nbsp; AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以  AB∥l．

過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因?yàn)?nbsp; l∥AB∥CD，

因此  PE⊥l，PF⊥l，

所以  ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?nbsp; PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，

因?yàn)?nbsp; E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，

所以  EF=BC=a．

在△EFP中，