（2013•鎮(zhèn)江二模）已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=
2
，|
b
|=1，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|恒成立，則
a
與
b
的夾角大小為
3π
4
3π
4
．
分析：由已知|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|利用模的計(jì)算公式得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化為x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，即x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
由于對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，必須滿足△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，解出即可．
解答：解：由|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|得
a
2+2x
a
•
b
+x2
b
2
≥
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，化為x2
b
2+2x
a
•
b
-2
a
•
b
-
b
2≥0，
∵|
b
|=1，|
a
|=
2
．
∴x2+2
2
xcos＜
a
，
b
＞-2
2
cos＜
a
，
b
＞-1≥0，
∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|
a
+x
b
|≥|
a
+
b
|（即上式）恒成立，
∴△=(2
2
cos＜
a
，
b
＞)2+4(2
2
cos＜
a
，
b
＞+1)≤0，化為(2
2
cos＜
a
，
b
＞+2)2≤0，
得cos＜
a
，
b
＞=-
2
2
，
∵＜
a
，
b
＞∈[0，π]，∴＜
a
，
b
＞=
3π
4
．
故答案為
3π
4
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量模的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知a為正的常數(shù)，函數(shù)f（x）=|ax-x2|+lnx．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)g(x)=
f(x)x
，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，設(shè)A，B分別為橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S1與S2．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為y=
1
3
x，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求
S1
S2
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，
1
bn
+bn-1=2(n≥2，n∈N*)．
（1）求b2，b3，猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)x=
b
n
n
，y=
b
n+1
n
，比較xx與yy的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=
3+i1+i
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第
四
四
象限．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）設(shè)全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|x＞1}，則A∩?UB
{x|-1≤x≤1}
{x|-1≤x≤1}
．

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