Question

設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.8、0.9，求：

(1)兩人都擊中目標的概率；

(2)兩人中有1人擊中目標的概率；

(3)在一次射擊中，目標被擊中的概率；

(4)兩人中，至多有1人擊中目標的概率.

Answer 1

分析：設出已知事件，然后利用互斥事件、對立事件、獨立事件將所求事件分解成已知事件的和或積，從而得出相應的事件等式，最后利用有關概率公式求解即可.

解：設事件A={甲射擊一次，擊中目標}，事件B={乙射擊一次，擊中目標}，A與B相互獨立，則P(A)=0.8，P(B)=0.9.

(1)兩人都擊中目標的事件為A·B，

∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.

即兩人都擊中目標的概率為0.72.

(2)設事件C={兩人中有1人擊中目標}，則C=A·+B·，∵A·與B·A互斥，且A與B獨立，

∴P(C)=P(A·+B·)

=P(A·)+P(B·)

=P(A)·P()+P(B)·P()

=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］

=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.

即兩人中有1人擊中目標的概率為0.26.

(3)設D={目標被擊中}={兩人中至少有1人擊中目標}，本問有三種解題思路.

方法一：∵D=A·+B·+·B，則A與，B與，A與B相互獨立，A·、B·、A·B彼此互斥，∴P(D)=P(A·+B·+A·B)=P(A·)+P(B·)+P(A·B)=P(A)·P()+P(B)·P(A)+

P()·P(B)=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］+P(A)·P(B)=0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98.

即目標被擊中的概率是0.98.

方法二：利用求對立事件概率的方法.

兩人中至少有1人擊中的對立事件為兩人都未擊中，所以兩人中至少有1人擊中的概率為P(D)=1-P(·)=1-P()·P()=1-0.2×0.1=0.98.

即目標被擊中的概率是0.98.

方法三：∵D=A+B，且A與B獨立，∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)=0.8+0.9-0.8×0.9=0.98.

故目標被擊中的概率是0.98.

(4)設E={至多有1人擊中目標}，則本問有兩種思路：

方法一：∵E=A·+B·+·，且A與、B與、與B獨立，且A·、·、·彼此互斥，

∴P(E)=P(A·+B·+·B)

=P(A·)+P(B·)+P(·)

=P(A)·P()+P(B)·P()+P()·P()

=0.8×0.1+0.9×0.2+0.1×0.2=0.28.

故至多有1人擊中目標的概率為0.28.

方法二：∵=“兩人都擊中”，∴=A·B，且A與B獨立.∴P()=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=

0.72.∵D與對立，∴P(D)=1-P()=1-0.72=0.28.

故至多有1人擊中目標的概率為0.28.

綠色通道:由上述解法可以看出，靈活、有效地將一些比較復雜的事件分解成為互斥事件和相互獨立事件的和或積，列出事件等式，是求解概率問題的關鍵所在.