Question

已知曲線C_n：x²-2nx+y²=0（n=1，2，…）．從點(diǎn)P（-1，0）向曲線C_n引斜率為k_n（k_n＞0）的切線l_n，切點(diǎn)為P_n（x_n，y_n）．
（1）求數(shù)列{x_n}與{y_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：x1•x3•x5•…•x2n-1＜

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l_n：y=k_n（x+1），聯(lián)立x²-2nx+y²=0得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，則△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，由此可知xn=

n

n+1

，yn=kn(xn+1)=

n 2n+1

n+1

（2）由題設(shè)條件知x1•x3•x5x2n-1＜

1-xn 1+xn

，令函數(shù)f(x)=x-

2

sinx，則f′(x)=1-

2

cosx=0，得cosx=

2

2

，再由函數(shù)f（x）在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減可知x1•x3•x5•…•x2n-1＜

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

解答：解：（1）設(shè)直線l_n：y=k_n（x+1），聯(lián)立x²-2nx+y²=0
得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，
則△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，
∴kn=

n

2n+1

（-

n

2n+1

舍去）

x

2 n

=

k 2 n

1+ k 2 n

=

n2

(n+1)2

，
即xn=

n

n+1

，∴yn=kn(xn+1)=

n 2n+1

n+1

（2）證明：∵

1-xn 1+xn

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

x1•x3•x5x2n-1=

1

2

×

3

4

××

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

∴x1•x3•x5x2n-1＜

1-xn 1+xn

由于

xn

yn

=

1 2n+1

=

1-xn 1+xn

，
可令函數(shù)f(x)=x-

2

sinx，則f′(x)=1-

2

cosx，
令f′（x）=0，得cosx=

2

2

，
給定區(qū)間(0，

π

4

)，則有f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，即x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，又0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，
則有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

，即

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．