Question

已知函數(shù)f（x）=x -k2+k+2（k∈N），滿足f（2）＜f（3）．
（1）求k的值并求出相應(yīng)的f（x）的解析式；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），使得g（x）=f（x）-（m-1）x+m在[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（2）＜f（3）求得-1＜k＜2．再根據(jù)k∈N，可得k=0，1，由此求得f（x）的解析式．
（2）由于g（x）=x²-（m-1）x+m，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)單調(diào)，故有

m-1

2

≥2或

m-1

2

≤0，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（2）＜f（3），則-k²+k+2＞0，解得-1＜k＜2．
又k∈N，則k=0，1，此時(shí)，f（x）=x² ．
（2）由g（x）=f（x）-（m-1）x+m=x²-（m-1）x+m，
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)單調(diào)只需：

m-1

2

≥2或

m-1

2

≤0，
則m≥5，或m≤0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．