Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的長分別是a，b，c，且c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（2）若sin（A+B）+sin（2A+C）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關系式，將c與cosC的值代入得到關于a與b的關系式，再利用三角形面積公式列出關系式，將sinC的值代入得到另一個關系式，聯立即可求出a與b的值；
（2）已知等式變形后，整理得到sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0與cosA≠0兩種情況，分別求出a與b的值，確定出三角形面積即可．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4①，
∵△ABC的面積等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，即ab=4②，
聯立①②，解得：a=b=2；
（2）已知等式sin（A+B）+sin（2A+C）=2sin2A，變形得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0，即A=

π

2

時，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
當cosA≠0時，得到sinB=2sinA，利用正弦定理化簡得：b=2a，
聯立得：

a2+b2-ab=4 b=2a

，解得：

a= 2 3 3 b= 4 3 3

，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

2 3

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．