已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增時(shí),若x1,x2∈(0,2),且f(x1)+f(x2)=2f(a),試比較數(shù)學(xué)公式與a的大。

解:(Ⅰ)
(1)當(dāng)a<0時(shí),f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,f(x)在(0,+∞)遞減;
(2)當(dāng)a>1時(shí),f'(x)<0解集為,f'(x)>0解集為,
∴f(x)在遞減,在上遞增;
(3)當(dāng)0<a<1時(shí),f'(x)<0解集為,f'(x)>0解集為
∴f(x)在遞減,在上遞增;
(4)當(dāng)a=1時(shí),f'(x)>0解集為(0,1)∪(1,+∞),
∴f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)上遞增,且f(x)在x=1不間斷,所以f(x)在(0,+∞)遞增;…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1,,
要比較與1的大小,只需比較x2與2-x1的大小..…(6分)
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/117160.png' />
設(shè).…(8分)

當(dāng)x1∈(0,1)時(shí),F(xiàn)'(x1)<0,F(xiàn)(x1)為減函數(shù),
當(dāng)x1∈(1,2)時(shí),F(xiàn)'(x1)>0,F(xiàn)(x1)為增函數(shù),
所以F(x1)≥F(1)=0…(10分)
所以f(x2)≥f(2-x1),又因?yàn)閒(x)為增函數(shù),
所以x2≥2-x1,所以,即a…(12分)
分析:(I)求導(dǎo)數(shù)可得,分a<0,a>1,0<a<1,和a=1進(jìn)行討論,可得f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需比較x2與2-x1的大小,作差后構(gòu)造函數(shù),由單調(diào)性可得最值,進(jìn)而可得答案.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,涉及單調(diào)性的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化的思想,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)

   (I)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性;

   (Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:曲線與其在點(diǎn)處的切線至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年浙江省溫州市瑞安中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知,
(I)討論f(x)在區(qū)間(-2,+∞)上的單調(diào)性,并證明;
(II)若方程f(x)=g(x)至少有一個(gè)正數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)令t=2-m,對(duì)(II)中的m,求函數(shù)的最小值.
(其中[t]表示不超過(guò)t的最大整數(shù),例如:[1]=1,[2.6]=2,[-2.6]=-3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿(mǎn)分12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)

已知函數(shù)

(I)             討論f(x)的單調(diào)性;

(II)           設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)若過(guò)兩點(diǎn)的直線I與x軸的交點(diǎn)在曲線上,求α的值。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(大綱卷解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)

(I)     討論f(x)的單調(diào)性;

(II)   設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)若過(guò)兩點(diǎn)的直線I與x軸的交點(diǎn)在曲線上,求α的值。

【解析】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一就是三次函數(shù),通過(guò)求解導(dǎo)數(shù),求解單調(diào)區(qū)間。另外就是運(yùn)用極值的概念,求解參數(shù)值的運(yùn)用。

【點(diǎn)評(píng)】試題分為兩問(wèn),題面比較簡(jiǎn)單,給出的函數(shù)比較常規(guī),,這一點(diǎn)對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)沒(méi)有難度但是解決的關(guān)鍵還是要看導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的實(shí)質(zhì)不變,求解單調(diào)區(qū)間。第二問(wèn)中,運(yùn)用極值的問(wèn)題,和直線方程的知識(shí)求解交點(diǎn),得到參數(shù)的值。

(1)

 

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