Question

已知函數(shù)F（x）=，x＞0，a＞0．
（1）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性，并給予證明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范圍和相應(yīng)的m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）由（1）得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在[m，n]上也為增函數(shù)，再由f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），說明f（m）=m，f（n）=n，從而說明m和n是方程ax²-x+a=0的兩實根，由該方程的判別式大于0，結(jié)合已知a＞0可求a的取值范圍，利用求根公式得到m和n的值．
解答：解：（1）f（x）在定義域上單調(diào)遞增．證明如下
任取x₁＞x₂＞0，
則
=．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
則f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即，．
∴m，n為方程ax²-x+a=0的兩實根，
∴△=1-4a²＞0，
∴，又a＞0，可得．
則，．
點評：本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了單調(diào)函數(shù)的值域問題，考查了方程思想，解答此題的突破口是能由，想到m，n是方程ax²-x+a=0的兩實根，此題是中檔題．