Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，且知當(dāng)x=-1時(shí)取得極大值7，當(dāng)x=3取得極小值，試求f（x）的極小值，并求a、b、c的值．

Answer 1

【答案】分析：先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值，可知-1，3是方程f'（x）=0的根，從而可得到關(guān)于a，b的兩個(gè)等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式，即可求出c的值．因?yàn)楹瘮?shù)在x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數(shù)，求出的函數(shù)值即為函數(shù)的極小值．
解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，∴f'（x）=3x²+2ax+b．
∵當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極大值，x=3時(shí)，函數(shù)取得極小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3為方程3x²+2ax+b=0的兩根．
∴∴，
∴f（x）=x³-3x²-9x+c．
∵當(dāng)x=-1時(shí)取得極大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2．
∴函數(shù)f（x）的極小值為f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵．