Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O為棱AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PO⊥AD，利用平面PAD⊥平面ABCD，能證明PO⊥平面ABCD．
（2）法1：推導(dǎo)出AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，過(guò)A作AG⊥PD于G，連接GB，則GB⊥PD，∠AGB為二面角A-PD-B的平面角，由此能求出二面角A-PD-B的余弦值．
法2：（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OP為z軸，建立空直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵△PAD是正三角形，O是AD中點(diǎn)，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD…．（5分）
解：（2）解法1：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，過(guò)A作AG⊥PD于G，連接GB，則GB⊥PD，
∴∠AGB為二面角A-PD-B的平面角，
在Rt△ABG中，$AG=\sqrt{3}，AB=2$，∴$GB=\sqrt{7}$，
∴$cos∠AGB=\frac{AG}{BG}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴二面角A-PD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
解法2：（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OP為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，
$A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，\sqrt{3}），C（-1，2，0）$
∴$\overrightarrow{PD}=（-1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（1，2，-\sqrt{3}）$，
設(shè)平面PDB的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}z+x=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow n=（-3，3，\sqrt{3}）$，
又∵CD⊥平面PAD，
∴平面PAD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（0，1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{3}{{\sqrt{21}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴二面角A-PD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂直的證明，考查二面角的余弦值，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空中想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．