如圖，三棱柱 ABC-A′B′C′中，P為AA′上一點(diǎn)，求 VP-BB′C′C：VABC-A′B′C′．精英家教網(wǎng)
分析：法一：求出設(shè)SBB'C'C=S，AA'到平面BB'C'C的距離為h，把三棱柱ABC-A'B'C'接補(bǔ)成以DD'C'C和BB'C'C為相鄰側(cè)面的平行六面體，此平行六面體體積為原三棱柱體積的兩倍．求出兩部分的體積，即可得到比值．
法二：VP-BB'C'C=VABC-A'B'C'-VP-ABC-VP-A'B'C'設(shè)S△ABC=m，棱柱的高為n，則三棱柱的體積=m•n，然后求出體積，即可得到比值．
解答：解法一：設(shè)SBB'C'C=S，AA'到平面BB'C'C的距離為h，則VP-BB′C′C=
1
3
Sh
把三棱柱ABC-A'B'C'接補(bǔ)成以DD'C'C和BB'C'C為相鄰側(cè)面的平行六面體，此平行六面體體積為原三棱柱體積的兩倍．∵VABC-A′B′C′=
1
2
Sh∴
VP-BB′CC′
VABC-A′B′C′
=
1
3
Sh
1
2
Sh
=
2
3

解法二：VP-BB'C'C=VABC-A'B'C'-VP-ABC-VP-A'B'C'設(shè)S△ABC=m，棱柱的高為n，則三棱柱的體積=m•nVP-BB'C'C=VABC-A'B'C'-VP-ABC-VP-A'B'C'=mn-
1
3
m•n（P到兩底距離之和為n）=
2
3
mn
∴VP-AB′C′C：VABC-A′B′C′=
2
3
點(diǎn)評(píng)：把三棱柱接補(bǔ)成平行六面體是重要的變換方法，平行六面體的每一個(gè)面都可以當(dāng)作柱體的底，有利于體積變換．考查計(jì)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥平面ABC，AC=BC=CC1=1，則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，AB=AC．
（1）證明：DE⊥平面BCC1
（2）設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°，求二面角A-BD-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•黑龍江）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
12
AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D是BC中點(diǎn)，且AA1=AB
（1）證明：AD⊥BC1
（2）證明：A1C∥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•大連二模）如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，cc′=
2
，BC′=
2
，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面A′BC′；
（Ⅱ）若AC≤
2
，且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
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3
，求二面角C-AA'-B的大�。�

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