在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=-4

(1)求直線l恒過一定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
(1)設(shè)l:x=ty+b代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
則y1+y2=4t,y1y2=-4b,∴
OA
OB
=x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2.
∴直線l過定點(diǎn)(2,0).
(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x,y),
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在曲線y2=4x上
∴y12=4x1,y22=4x2
兩式作差得(y2-y1)(y2+y1)=4(x2-x1
y2-y1
x2-x1
=
4
y1+y2
=k
y=
y1+y2
2
=
2
k
y=k(x-2)
…(12分)
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程  y2=2(x-2)…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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