Question

如圖所示，△ABC和△BCE是邊長為2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD=2

3

．
（Ⅰ）證明：DE⊥BC；
（Ⅱ）求BD與平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BDE和平面ABC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如圖所示．取BC的中點(diǎn)F，連接AF，EF．利用正三角形的性質(zhì)可得：AF⊥BC，EF⊥BC．利用平面ABC⊥平面BCE，可得EF⊥平面ABC．利用線面垂直的性質(zhì)AD⊥平面ABC，可得AD∥EF．得到四點(diǎn)共面，再利用線面垂直的性質(zhì)BC⊥平面AFED，可得BC⊥DE．
（II）由（I）可知：點(diǎn)B在平面DAEF內(nèi)的射影是點(diǎn)F．故∠BDF即為BD與平面ADE所成角．即可得出sin∠BDF=

BF

BD

．
（III）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則F（0，0，0），B（1，0，0），E(0，0，

3

)，D(0，-

3

，2

3

)．則

DE

=(0，

3

，

3

)，

BE

=(-1，0，

3

)．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（I）證明：如圖所示．取BC的中點(diǎn)F，連接AF，EF．
∵△ABC和△BCE是邊長為2的正三角形，∴AF⊥BC，EF⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCE，∴EF⊥平面ABC．
∵AD⊥平面ABC，∴AD∥EF．
∴四點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)共面，
又AF∩EF=F，∴BC⊥平面AFED，
∴BC⊥DE．
（II）解：由（I）可知：點(diǎn)B在平面DAEF內(nèi)的射影是點(diǎn)F．故∠BDF即為BD與平面ADE所成角．
在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=4．
∴sin∠BDF=

BF

BD

=

1

4

．
（III）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則F（0，0，0），B（1，0，0），E(0，0，

3

)，D(0，-

3

，2

3

)．
則

DE

=(0，

3

，

3

)，

BE

=(-1，0，

3

)．
設(shè)平面BDE的法向量為

m

=(x，y，z)，

m • DE = 3 y+ 3 z=0 m • BE =-x+ 3 z=0

，令x=

3

，則z=1，y=-1．
∴

m

=(

3

，-1，1)．
取平面ABC的法向量為

n

=(0，0，1)．
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

5

=

5

5

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了線面與面面垂直的判定及性質(zhì)、線面角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求出二面角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．