Question

本題共3個(gè)小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分6分．
如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”（點(diǎn)D在線段BC上），設(shè)AB長(zhǎng)為a，BC長(zhǎng)為b，∠BAD=θ．現(xiàn)規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂的比值稱為“草花比y”．
（1）求證：正方形BEFG的邊長(zhǎng)為；
（2）將草花比y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)θ為何值時(shí)，y有最小值？并求出相應(yīng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)t，則AE=a-t，利用相似比建立等式，從而可以證明；
（2）由于題目中“設(shè)∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識(shí)解決“草花比y”；
（3）設(shè)tanθ=x，則括號(hào)中兩式的積是定值，故利用二元不等式求其最小值．
解答：解：（1）設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)t，則AE=a-t，由=，得
（或：因?yàn)锳E=tcoθ，a-t=tcoθ），解得，（5分）
（2）BD=atanθ，△ABD的面積為，
則                          （8分）
所以（10分）
（3）設(shè)tanθ=x，則
①當(dāng)a≤b時(shí)，，x=1即時(shí)取最小值，最小值為1．            （14分）
②當(dāng)a＞b時(shí)，x∈（0，]，＜1，是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)取最小值，最小值為（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、解三角形以及利用二元不等式求函數(shù)最值的方法，解決實(shí)際問題通常有幾個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．