Question

7．平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓C與圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外切，且與直線x=-$\frac{1}{2}$相切，記圓心C的軌跡為曲線T
（Ⅰ）求曲線T的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)Q（m，0）（m為非零常數(shù)）的動(dòng)直線l與曲線T交于A、B兩點(diǎn)，問：在曲線T上是否存在點(diǎn)P（與A、B兩點(diǎn)相異），當(dāng)直線PA、PB的斜率存在時(shí)，直線PA、PB的斜率之和為定值，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）據(jù)圓錐曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以定點(diǎn)（1.0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線．
（2）假設(shè)在曲線T上存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由${k}_{PA}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，${k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}=\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$得${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0}）}{{{y}_{0}}^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}$，顯然動(dòng)直線l的斜率非零，故可設(shè)其方程為x=ty+m，（t∈R），聯(lián)立y²=4x，整理得y²-4ty-4m=0，利用韋達(dá)定理求解．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為C（x，y），動(dòng)圓圓心C到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x=-$\frac{1}{2}$距離差為定圓半徑$\frac{1}{2}$，
即動(dòng)點(diǎn)C到頂點(diǎn)（1，0）的距離等于到定直線x=-1的距離，根據(jù)圓錐曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以定點(diǎn)（1.0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線．
圓心C的軌跡為曲線T的方程為：y²=4x
（2）假設(shè)在曲線T上存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
${k}_{PA}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，${k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}=\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$；
${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0}）}{{{y}_{0}}^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}$…（1）．
顯然動(dòng)直線l的斜率非零，故可設(shè)其方程為x=ty+m，（t∈R），
聯(lián)立y²=4x，整理得y²-4ty-4m=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，且y₁≠y₂，
代入（1）式得${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{16t+8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+4t{y}_{0}-4m}$
顯然y₀≠0，于是[4y₀（k_PA+k_PB）-16]+（k_PB+k_PA）（y₀²-4m）-8y₀=0…（2）
欲使（2）式對(duì)任意t∈R成立，必有$\left\{\begin{array}{l}{4{y}_{0}（{k}_{PA}+{k}_{PB}-16）t=0}\\{（{k}_{PA}+{k}_{PB}）（{{y}_{0}}^{2}-4m）-8{y}_{0}=0}\end{array}\right.$
∵y₀≠0，m≠0，∴${{y}_{0}}^{2}-4m≠0$，∴${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4}{{y}_{0}}=\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4m}$，即${{y}_{0}}^{2}=-4m$
于是，當(dāng)m＞0時(shí)，不存在滿足條件的y₀，即不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P；
當(dāng)m＜0時(shí)，${y}_{0}=±2\sqrt{-m}$，將此代入拋物線T的方程可求得滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，2$\sqrt{-m}$），（-m，-2$\sqrt{-m}$）
綜上所述，存在點(diǎn)P（與A，B兩點(diǎn)相異），其坐標(biāo)為（-m，2$\sqrt{-m}$），（-m，-2$\sqrt{-m}$）
直線PA、PB的斜率之和為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，運(yùn)算能力，屬于中檔題．