Question

已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；

（3）已知，且函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.

 

Answer 1

（1）（2）（3）函數(shù)在R上是減函數(shù)

【解析】

試題分析：（1）

把的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719013587651132/SYS201411171901446269813910_DA/SYS201411171901446269813910_DA.007.png">，由題設(shè)可知有兩個(gè)兩點(diǎn)，其中一個(gè)在，一個(gè)在外，解這個(gè)不等式，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）

由函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù),所以,得到與的關(guān)系,然后由此關(guān)系推出.

試題解析：

【解析】
（1），

令g(x)=0, 有ex－1=0，即x=0；或 x2－2x－a=0；,

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn) ； 1分

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；2分

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；3分

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：

4分

（2），5分

設(shè)，的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，

由題意對(duì)任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

且則對(duì)任意,

即,有，7分

又任意關(guān)于遞增, ,

故，所以.

所以的取值范圍是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù), 10分

對(duì)來(lái)說(shuō)

即 11分

所以對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)

由知 12分

即對(duì)任意

故函數(shù)在R上是減函數(shù). 13分

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、一元二次方程根的分布.