已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

解：(Ⅰ)由g(x)=，對g(x)求導數(shù)知g′(x)=.

    由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x)＞0在x＞0時恒成立.

    從而g(x)=在x＞0時是單調(diào)遞增函數(shù).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=在x＞0時是增函數(shù).

    在x1＞0,x2＞0時，＞,＞.

    于是f(x1)＜f(x1+x2),f(x2)＜f(x1+x2).

    兩式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：g(x)=在x＞0上單調(diào)遞增時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0，x2＞0)恒成立.

    由數(shù)學歸納法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,

    有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.

    設f(x)=xlnx，則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時，

    有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)…①

    恒成立.

    令xn=，記Sn=x1+x2+…+xn=++…+.

    由Sn＜++…+=.

Sn＞++…+=-.

(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln()＜-(x1+x2+…+xn)

∵ln(1+x)＜x＜-(-)=-.      ②

    則②代入①中，可知：ln+ln+…+ln＜-.

    于是ln22+ln32+…+ln(n+1)2＞.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.?

(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立．

(1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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