Question

已知數列a,b,c為各項都是正數的等差數列，公差為d(d＞0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個實數后，所得到的m＋3個數所組成的數列{a_n}是等比數列，其公比為q．
（1）若a＝1,m＝1，求公差d；
（2）若在a,b之間和b,c之間所插入數的個數均為奇數，求所插入的m數的乘積（用a,c,m表示）
（3）求證：q是無理數．

Answer 1

解：（1）由a＝1，且等差數列a,b,c的公差為d，可知b＝1＋d，c＝1＋2d，
①若插入的數在a,b之間，則1＋d＝q²，1＋2d＝q³，消去q可得(1＋2d)²＝(1＋d)³，d＝．
②若插入的數在b,c之間，則1＋d＝q，1＋2d＝q³，消去q可得1＋2d＝(1＋d)³，此方程無正根．
故所求公差d＝
（2）設在a,b之間插入l個數，在b,c之間插入t個數，則l＋t＝m，
【由等比中項得：】
在等比數列{a_n}中，∵a₁＝a, a_l+2＝b＝, a_m+3＝c，a_ka_m+4－k＝a₁a_m+3＝ac(k＝2,3,···,m＋2)，
∴(a₂a₃…a_m+2)²＝(a₂a_m+2)·(a₃a_m+1)···(a_m+2a2)＝(ac)^m+1
又∵q^l+1＝＞0，q^t+1＝＞0，l,t都為奇數，∴q可以為正數，也可以為負數．
①若q為正數，則a₂a₃…a_m+2＝(ac)，所插入m個數的積為；
②若q為負數，a₂,a₃,…,a_m+2中共有＋1個負數，
當是奇數，即m＝4k－2(k∈N^*)時，所插入m個數的積為；
當是偶數，即m＝4k(k∈N^*）時，所插入m個數的積為．
綜上所述，當m＝4k－2(k∈N^*)時，所插入m個數的積為；
當m＝4k(k∈N^*）時，所插入m個數的積為．
注：可先將a₂,a₃,…,a_m+2用a和q表示，然后再利用條件消去q進行求解．
（3）∵在等比數列{a_n}，由q^l+1＝＝，可得q^l+1－1＝，同理可得q^m+2－1＝，
∴q^m+2－1＝2(q^l+1－1)，即2q^l+1－1＝q^m+2 (m≥l)，
反證法：假設q是有理數，
①若q為整數，∵a,b,c是正數，且d＞0，∴|q|＞1，在2q^l+1－q^m+2＝q(2q^l－q^m+1)＝1中，∵2q^l+1－q^m+2是q的倍數，故1也是q的倍數，矛盾．
②若q不是整數，可設q＝（其中x,y為互素的整數，x＞1），
則有()^m+2＝2()^l+1－1，即y^m+2＝x^m−l+1(2y^l+1－x^l+1)，∵m≥l，可得m－l＋1≥1，
∴y^m+2是x的倍數，即y是x的倍數，矛盾．
∴ q是無理數．