已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m<0),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及m的值;
(2)若h(x)=f(x)-g'(x)(其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)),求h(x)的單調(diào)區(qū)是及最值.
分析:(1)欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,最后利用直線方程與曲線方程組成的方程有唯一解求得m.從而問(wèn)題解決.
(2)令h'(x)=0求出x的值為x=1,分兩種情況討論h'(x)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最小值.
解答:解:(1)由題意可知直線l與函數(shù)f(x)=lnx相切于(1,0).∵f′(x)=
1
x

∴切線斜率k=f'(1)=1∴切線l的方程為y=x-1
又∵直線l與g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m<0)相切

即方程
1
2
x2+mx+
7
2
=x-1
有一個(gè)解.∴△=(m-1)2-4•
1
2
9
2
=0(m<0)
∴m=-2
(2)由(1)可知g(x)=
1
2
x2-2x+
7
2
∴g'(x)=x-2,∴h(x)=lnx-x+2(x>0)∴h′(x)=
1
x
-1

由h'(x)=0,得x=1,h'(x)及h(x)的變化如下表
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故h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞),h(x)max=h(1)=1,無(wú)最小值.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值.靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱(chēng)直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱(chēng)直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱(chēng)軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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