Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

的周期為π．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先對(duì)于（1）把三角函數(shù)表達(dá)式f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

化簡(jiǎn)為一般形式，再根據(jù)周期公式求解ω，即得f（x）的表達(dá)式．對(duì)于（2）有三角函數(shù)的一般表達(dá)式可直接求出其單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性求解區(qū)間上的最值即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．
∵f（x）的周期為π，故T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
當(dāng)2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，即x∈[0，

π

3

]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；2x-

π

6

∈(

π

2

，

5π

6

]，
即x∈(

π

3

，

π

2

]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
又f(0)=-

1

2

，f(

π

2

)=

1

2

．
∴f(x)max=f(

π

3

)=1，f(x)min=f(0)=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三角函數(shù)一般式的化簡(jiǎn)和其周期性單調(diào)區(qū)間的問題，對(duì)于三角函數(shù)的性質(zhì)非常重要需要理解并記憶．此題屬于中檔題目．