Question

設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列，其前項(xiàng)積為，并滿足條件a1＞1，a99a100-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0，給出下列結(jié)論：（1）0＜q＜1；（2）T₁₉₈＜1；（3）a₉₉a₁₀₁＜1；（4）使T_n＜1成立的最小自然數(shù)n等于199，其中正確的編號(hào)為

 

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Answer 1

分析：首先判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．

解答：解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，如果等比數(shù)列的公比是負(fù)值，在其連續(xù)兩項(xiàng)的乘積是負(fù)值，根據(jù)a₉₉a₁₀₀-1＞0，可知該等比數(shù)列的公比是正值，再根據(jù)

a99-1

a100-1

＜0可知，a₉₉，a₁₀₀一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，而a₁＞1，所以數(shù)列不會(huì)是單調(diào)遞增的，只能單調(diào)遞減，所以0＜q＜1，而且a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，又a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1，（1）（3）正確；
T₁₉₈=a₁a₂••a₉₉a₁₀₀••a₁₉₇a₁₉₈=（a₉₉a₁₀₀）⁹⁹＞1，（2）不正確；
T₁₉₉=a₁a₂••a₁₀₀••a₁₉₈a₁₉₉=（a₁₀₀）¹⁹⁹＜1，故（4）正確．
故答案為：（1）、（3）、（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)置開放性的結(jié)論，綜合考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及分析問題的能力，試題比較符合高考命題的趨勢(shì)．在等比數(shù)列中最主要的性質(zhì)之一就是a_m+a_n=a_p+a_q?m+n=p+q（m，n，p，q∈N^*）．