Question

已知方程（）^x=的解x∈（，），則正整數(shù)n=    ．

Answer 1

【答案】分析：先將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，再判斷函數(shù)的單調(diào)性確定若存在零點(diǎn)，則只有一個(gè)，最后利用零點(diǎn)存在性定理，證明零點(diǎn)所在的范圍，對照已知求得n值
解答：解：方程（）^x=的解即函數(shù)f（x）=（）^x-的零點(diǎn)
∵y=（）^x為定義域上的減函數(shù)，y=-為定義域上的減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）為定義域R上的單調(diào)減函數(shù)
又∵f（）=-＞0，（考慮冪函數(shù)y=為R上的增函數(shù)）
f（）=-＜0，（考慮指數(shù)函數(shù)y=（）^x為R上的減函數(shù)）
即f（）×f（）＜0
∴函數(shù)f（x）=（）^x-在區(qū)間（，）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
∴=，即n=2
故答案為 n=2
點(diǎn)評：本題考查了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系，零點(diǎn)存在性定理，二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性