Question

某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，得到如下列聯(lián)表：

	文藝節(jié)目	新聞節(jié)目	總計
20至40歲	40	16	56
大于40歲	20	24	44
總計	60	40	100

（1）用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)抽取幾名？
（2）是否有99%的把握認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)？說明你的理由；
（3）已知在大于40歲收看文藝節(jié)目的20名觀眾中，恰有8名又收看地方戲節(jié)目．現(xiàn)在從這20名觀眾中隨機(jī)選出3名進(jìn)行其他方面調(diào)查，記選出收看地方戲節(jié)目的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式與臨界值表：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法,獨(dú)立性檢驗(yàn)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知中的列聯(lián)表，可得收看新聞節(jié)目的觀眾共有40人，從中抽取5人，可得抽樣比，進(jìn)而得到從大于40歲的觀眾中抽取的人數(shù)
（2）由已知中的列聯(lián)表，代入計算出K²的值，與臨界值比較后可得有99%的把握認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)
（3）由已知可得ξ的可能值為0、1、2、3，利用綜合數(shù)計算出隨機(jī)變量的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，可得答案．

解答： 解：（1）收看新聞節(jié)目的觀眾共有16+24=40人，
從中隨機(jī)抽取5名，
抽樣比k=

5

40

=

1

8

應(yīng)抽取大于40歲的觀眾人數(shù)為24×

1

8

=3（名）…（3分）（列式2分，計算1分）
（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
得K2=

100×(40×24-16×20)2

56×44×60×40

=

1600

231

≈6.926＞6.635…（7分）
（列式2分，計算1分，判斷1分）
所以，有99%的把握認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)…（8分）
（3）ξ的可能值為0、1、2、3…（9分）
P(ξ=0)=

C 3 12

C 3 20

=

11

57

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 2 12

C 3 20

=

44

95

，
P(ξ=2)=

C 2 8 C 1 12

C 3 20

=

28

95

，
P(ξ=3)=

C 3 8

C 3 20

=

14

285

…（11分）（每個0.5分，四舍五入）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	11 57	44 95	28 95	14 285

…（12分）
ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

11

57

+1×

44

95

+2×

28

95

+3×

14

285

=

6

5

…（14分）（每個等號1分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是烹茶型隨機(jī)變量的期望與方差，分層抽樣方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)是統(tǒng)計較為綜合的題型，難度中檔．