精英家教網(wǎng)如圖,AB是圓O的直徑,P為圓外一點(diǎn),PB是圓O的切線,PA是圓O的割線且與圓O相交于點(diǎn)C.過點(diǎn)C作圓O的切線與PB交于D點(diǎn).求證:
(1)OD∥AP;
(2)PD•PB=PC•OD.
分析:(1)連接OC及BC,因?yàn)镻B和DC為圓O的切線,所以角OBD和角OCD相等且都為直角,則三角形OBD和三角形OCD都為直角三角形,由一對半徑相等和一對公共邊,利用“HL”的方法即可得到兩直角三角形全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到角BOD等于角COD都等于角BOC的一半,又根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對弧的圓周角的2倍,得到角OAC也為角BOC的一半,進(jìn)而得到角BOD等于角OAC,根據(jù)同位角相等,兩直線平行,即可得證;
(2)根據(jù)切割線定理得到PB的平方等于PC與PA的積,由(1)得出的OD與PA平行和O為AB的中點(diǎn),得到D也為BP的中點(diǎn)(得到PB等于2PD),進(jìn)而得到OD為三角形BPA的中位線,根據(jù)中位線定理,得到PA等于2OD,然后把切割線定理得到關(guān)系式中的PB和PA等量代換,約分化簡后即可得證.
解答:證明:(1)連接OC,BC,
在△OCD和△OBD中
∠OCD=∠OBD=90°,
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OB=OC,OD=OD,
∴直角△OCD≌直角△OBD,
∴∠BOD=∠COD=
1
2
∠BOC.①
又∠BOC與∠BAC分別是
BC
所對的圓心角和圓周角
1
2
∠BOC=∠BAC,②
由①②得∠BOD=∠BAC,
∴OD∥AP.
(2)∵PB2=PC•PA,③
由(1)知OD∥AP,O為AB中點(diǎn),
∴DO是△BPA的中位線,
∴PA=2OD,PB=2PD,代入③得
2PD•PB=PC•2OD,
即PD•PB=PC•OD.
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用“HL”的方法證明兩直角三角形全等,掌握切線的性質(zhì)及切割線定理,要求學(xué)生善于觀察圖形尋找角與角之間存在的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(理科)如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形.其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
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(Ⅰ)求證:BD⊥平面ADG;
(Ⅱ)求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

(文科)如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(Ⅰ)求證:AF⊥平面CBF;
(Ⅱ)設(shè)FC的中點(diǎn)為M,求證:OM∥平面DAF.
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3
2
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直線與直線的夾角大小為         

 

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徑AB =8,E為OB.的中點(diǎn),CD過點(diǎn)E且垂直于AB,

EF⊥AC,則

CF•CA=            

 

 

 

 

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