已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a．點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求證：|PQ|=|PF2|；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）若橢圓的離心率e=
3
2
，試判斷軌跡C上是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，請求出∠F1MF2的正切值．
（1）由橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，
又|QF1|=|PF1|+|QP|=2a，
∴|PQ|=|PF2|．
（2）由（1）得|PQ|=|PF2|，又
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
∴點(diǎn)T為QF2的中點(diǎn)，
又點(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn)，
∴OT是△QF1F2的中位線．
∴|OT|=
1
2
|QF1|=a，所以點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2．
（3）假設(shè)C上存在點(diǎn)M（x0，y0）使S=b2的充要條件是
x20
+
y20
=a2…(3)
1
2
•2c|y0|=b2…(4)
，
由題意得|y0|≤a，由（4）得|y0|=
b2
c
．
所以若要存在點(diǎn)M，使S=b2，必須a≥
b2
c
，即ac≥b2 ，
∴ac≥a2-c2，兩邊同除以a2得e2+e-1≥0，解得
5
-1
2
≤e＜1，或e≤
-
5
-1
2
（舍去）．
∵
3
2
∈[
5
-1
2
，1），
故當(dāng)橢圓的離心率e=
3
2
時，軌跡C上存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2．
在此條件下，
MF1
=(-c-x0，-y0)，
MF2
=(c-x0，-y0)，
由
MF1
•
MF2
=
x20
-c2+
y20
=a2-c2=b2，
MF1
•
MF2
=|
MF1
|•|
MF2
|cos∠F1MF2，S=
1
2
|
MF1
|•|
MF2
|sin∠F1MF2=b2，
得tan∠F1MF2=2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
8
+
y2
4
=1上的點(diǎn)到直線x-y+6=0的距離的最小值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（　　）
A．2
2
B．3C．2
3
D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知三角形△ABC的兩頂點(diǎn)為B（-2，0），C（2，0），它的周長為10，求頂點(diǎn)A軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．
（1）求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且有一公共點(diǎn)P滿足|PF1|•|PF2|=6，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-1，0），已知橢圓E上的一點(diǎn)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點(diǎn)F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點(diǎn)M、N，求證∠MBP為銳角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

從圓O：x2+y2=4上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為P′，點(diǎn)M是線段PP′的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（　�。�
A．
9x2
16
+
y2
4
=1		B．
9y2
16
+
x2
4
=1
C．x2+
y2
4
=1		D．
x2
4
+y2=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長等于12，離心率為
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動時，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py過點(diǎn)P(1，
1
2
)，直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)直線l過點(diǎn)Q時，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案