已知函數(shù)f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx.(e≈2.718 28…).
(1)設(shè)曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線x+(e-1)y=1垂直,求a的值;
(2)若對于任意實(shí)數(shù)x≥0,f(x)>0恒成立,試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=-1時,是否存在實(shí)數(shù)x0∈[1,e],使曲線C:y=g(x)-f(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,請說明理由.
解析 (1)由題知,f′(x)=ex+a.
因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l的斜率為e+a,
又直線x+(e-1)y=1的斜率為,
∴(e+a)=-1.∴a=-1.
(2)∵當(dāng)x≥0時,f(x)=ex+ax>0恒成立,
∴若x=0,a為任意實(shí)數(shù),f(x)=ex+ax>0恒成立.
若x>0,f(x)=ex+ax>0恒成立,
即當(dāng)x>0時,a>-恒成立.
設(shè)Q(x)=-.Q′(x)=-=.
當(dāng)x∈(0,1)時,Q′(x)>0,則Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,Q′(x)<0,則Q(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=1時,Q(x)取得最大值.
Q(x)max=Q(1)=-e.
∴要使x≥0時,f(x)>0恒成立,a的取值范圍為(-e,+∞).
(3)依題意,曲線C的方程為y=exlnx-ex+x.
令M(x)=exlnx-ex+x,
∴M′(x)=+exlnx-ex+1=(+lnx-1)ex+1.
設(shè)h(x)=+lnx-1,則h′(x)=-+=.
當(dāng)x∈[1,e]時,h′(x)≥0.
故h(x)在[1,e]上為增函數(shù),因此h(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為h(1)=ln1=0.
所以h(x)=+lnx-1≥0.
當(dāng)x0∈[1,e]時,.
∴.
曲線y=exlnx-ex+x在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直等價于方程M′(x0)=0在x∈[1,e]上有實(shí)數(shù)解.
而M′(x0)>0,即方程M′(x0)=0無實(shí)數(shù)解.
故不存在實(shí)數(shù)x0∈[1,e],使曲線y=M(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直.
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已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-|,則函數(shù)y=f(x+1)的大數(shù)圖象為
A.
B.
C.
D.
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已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-|,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為
A.
B.
C.
D.
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已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.
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已知函數(shù)f(x)=e-xsin(其中e=2.718…).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值與最小值.
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已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.
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