Question

15．設函數f（x）=a•e^x-1（a為常數），且$f（-1）=\frac{2}{e^2}$
（1）求a值；
（2）設$g（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜2\\{log_3}（x-1）\begin{array}{l}{\;}&{x≥2}\end{array}\end{array}\right.$，求不等式g（x）＜2的解集．

Answer 1

分析 （1）將x=-1代入解析式，由指數的運算性質求出a的值；
（2）由（1）化簡g（x）的解析式，對x進行分類討論，分別根據指數函數、對數函數的性質列出不等式，求出對應的解，最后并結果并在一起．

解答 解：（1）∵函數f（x）=a•e^x-1（a為常數），
∴$f（-1）=a•{e}^{-1-1}=\frac{2}{{e}^{2}}$，即$a•\frac{1}{{e}^{2}}=\frac{2}{{e}^{2}}$，
則a=2；
（2）由（1）得，f（x）=2•e^x-1，
則$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜2}\\{lo{g}_{3}^{（x-1）}，\left.\begin{array}{l}{x≥2}\end{array}\right.}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2•{e}^{x-1}，x＜2}\\{lo{g}_{3}^{（x-1）}，\left.\begin{array}{l}{x≥2}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，
①當x＜2時，不等式g（x）＜2為2•e^x-1＜2，
即e^x-1＜1=e⁰，解得x＜1，
②當x＜2時，不等式g（x）＜2為${log}_{3}^{（x-1）}$＜2，
即${log}_{3}^{（x-1）}$＜${log}_{3}^{9}$，則0＜x-1＜9，
解得1＜x＜10，
綜上可得，不等式的解集是（-∞，1）∪（1，10）．

點評 本題考查了對數不等式、指數不等式的解法，以及對數函數、指數函數的性質的應用，考查分類討論思想，化簡、計算能力．