Question

多面體ABCDEF中，M、N分別為EC、AB的中點，底面ABCD為菱形，且∠BAD=
60°，ED⊥平面ABCD，ED∥BF，且ED=AD=2BF=2．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取CD的中點P，連結(jié)MP，PN，證明平面MPN∥平面BCF，可得MN∥平面BCF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量、平面CEF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-EF-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD的中點P，連結(jié)MP，PN，則MP∥

1

2

ED
∵FB∥

1

2

ED，∴MP∥FB，PN∥BC．
∵MP∩PN=P，F(xiàn)B∩BC=B，
∴平面MPN∥平面BCF，
∵MN?平面MPN，
∴MN∥平面BCF；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由ED=AD=2BF=2，得E（0，0，2），A（

3

，-1，0）
F（

3

，1，1），C（0，2，0）
∴

EF

=（

3

，1，-1），

EA

=（

3

，-1，-2），

EC

=（0，2，-2），
設(shè)平面AEF的法向量為

m

=（x，y，z），
則

3 x+y-z=0 3 x-y-2z=0

，∴平面AEF的一個法向量為

m

=（-

3

，1，-2）；
同理，平面CEF的一個法向量為

n

=（0，1，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

0+1-2

2 • 8

=-

1

4

，
∴平面AEF和平面CEF所成二面角的余弦值為-

1

4

．

點評：本題考查線面平行、面面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，正確運用面面平行的判定定理是關(guān)鍵．