Question

有下列命題：
①x=0是函數(shù)y=x³+1的極值點(diǎn)；
②三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點(diǎn)的充要條件b²-3ac＞0；
③奇函數(shù)f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區(qū)間（4，+∞）上是遞增的；
④曲線y=e^x在x=1處的切線方程為y=ex． 
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)y=x³+1在R單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，可判斷①；根據(jù)三次函數(shù)存在極值點(diǎn)的充要條件是導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，可判斷②；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求出m，n的值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；利用導(dǎo)數(shù)法求出切線的方程，可判斷④．

解答： 解：函數(shù)y=x³+1在R單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故①錯誤；
三次函安徽f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點(diǎn)的充要條件是其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c有兩個零點(diǎn)，即△=4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0，故②正確；
函數(shù)f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n是奇函數(shù)，故m-1=n=0，故函數(shù)f（x）=x³-48x，當(dāng)x∈（4，+∞）時，f′（x）=3x²-48＞0，故函數(shù)為增函數(shù)，故③正確；
曲線y=e^x在x=1處的切線斜率為e，切點(diǎn)為（1，e）點(diǎn)，故切線方程為y=ex，故④正確；
故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的切線方程，是導(dǎo)數(shù)與邏輯的綜合應(yīng)用，難度中檔．