．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中點．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.


證法一：(1)

取CE的中點P，連接FP、BP，

∵F為CD的中點，

∴FP∥DE，且FP＝DE.

又AB∥DE，且AB＝DE，

∴AB∥FP，且AB＝FP，

∴四邊形ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP.

又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

(2)∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.

又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

證法二：設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系A－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．

∵F為CD的中點，∴F(a，a,0)．

又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.


練習冊系列答案
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