已知函數(shù)f(x)=2
3
sin2x+2sinxcosx-
3
(
π
3
≤x≤
11π
24
)

(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)已知銳角△ABC的兩邊長分別為函數(shù)f(x)的最大值與最小值,且△ABC的外接圓半徑為
3
2
4
,求△ABC的面積.
考點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題:計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形
分析:(1)利用輔助角公式、二倍角公式化簡函數(shù),即可求函數(shù)f(x)的值域;
(2)不妨設(shè)a=
3
,b=2,利用△ABC的外接圓半徑為
3
2
4
,求出sinA,sinB,進(jìn)而求出sinC,即可求△ABC的面積.
解答: 解:(1)f(x)=sin2x-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
),
π
3
≤x≤
11π
24
,
π
3
≤2x-
π
3
12
,
3
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1,
3
≤2sin(2x-
π
3
)≤2,
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇
3
,2];
(2)不妨設(shè)a=
3
,b=2,
∵△ABC的外接圓半徑為
3
2
4
,
∴sinA=
a
2r
=
6
3
,sinB=
b
2r
=
2
2
3
,
∴cosA=
3
3
,cosB=
1
3
,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
6
3

∴S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
3
•2•
6
3
=
2
點(diǎn)評:本題考查利用輔助角公式、二倍角公式化簡函數(shù),考查正弦定理,考查三角形面積的計(jì)算,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓M、拋物線N的焦點(diǎn)均在x軸上的,且M的中心和M的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x 3 -2 4
2
y -2
3
0 -4
2
2
(Ⅰ)求M,N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn)A(1,
1
2
),過原點(diǎn)O作直線l交橢圓M于B,C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值和此時(shí)直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F(1,0),C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求證:以AB為直徑的圓過原點(diǎn);
(Ⅲ)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公共點(diǎn),求橢圓C1的長軸長的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=lnx,g(x)=af(x)+f′(x),
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=1時(shí),
    ①比較g(x)與g(
1
x
)
的大小;
    ②是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<
1
x
對任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=lnx,g(x)=
x
-
1
x

(Ⅰ)當(dāng)x≥1時(shí),求f(x)-g(x)的最大值;
(Ⅱ)求證:
x
x-1
lnx
x+1
2
,?x>1恒成立;
(Ⅲ)求證:
n2
2
+
3n
8
n
k=1
1
ln
2k+1
2k-1
n2
2
+
n
2
(n≥2,n∈N).(參考數(shù)據(jù):ln3≈1.1,ln5≈1.6)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y=x2,直線l:x-2y-2=0,點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,直線PM,PN斜率分別為k1,k2,如圖所示
(1)若P(4,1),求證:k1+k2=16;
(2)若MN過拋物線的焦點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|.若f(a)=2a,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記曲線y=x2與y=
x
圍成的區(qū)域?yàn)镈,若利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的兩個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)x,y,則點(diǎn)(x,y)恰好落在區(qū)域D內(nèi)的概率等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線l與雙曲線
x2
2
-y2=1
的同一支相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上,則直線AB的斜率為( 。
A、4
B、2
C、
1
2
D、
1
4

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同步練習(xí)冊答案