已知定義在[-1，1]上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足，且對于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）試求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范圍．
【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，在證明時只需要找到f（-x）與f（x）的關系即可，本題中要充分利用特值的思想尋找此關系，進而問題即可獲得解答；
（2）解答時首先要對抽象不等式結合奇偶性進行化簡，化為f（1-m）＜f（2m-1）的形式，然后分析函數(shù)的單調(diào)性結合單調(diào)性同時注意到定義域即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）由題意可知：令x=y=0，則
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且＞f（0）=0，∴函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以，
解得：＜m≤1
∴m的取值范圍為：＜m≤1．
點評：本題考查的是抽象函數(shù)問題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性的知識、函數(shù)單調(diào)性的知識以及解不等式的方法．值得同學們體會和反思．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

10、已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．給出下列結論：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，4]；
②關于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4個不相等的實數(shù)根；
③當x∈[2n-1，2n]（n∈N*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，
其中你認為正確的所有結論的序號為
①③
①③
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），在x∈（0，1]時，f（x）=
2x4x+1
．
（1）當x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=-2x•f（x）（-1＜x＜0），求函數(shù)y=g（x）的值域；
（3）若關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求實數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　�。�
A．[-1，1]B．[-3，-1]C．[-2，0]D．不能確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年四川省眉山市彭山二中高一（下）第一次月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（ ）
A．[-1，1]
B．[-3，-1]
C．[-2，0]
D．不能確定

查看答案和解析>>

同步練習冊答案