Question

已知復(fù)數(shù)|z|=2,求復(fù)數(shù)1+i+z的模的最大值、最小值.

Answer 1

思路分析:(1)可以由復(fù)數(shù)的幾何意義采用數(shù)形結(jié)合的方法來解,(2)通過不等式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|,其中第一個(gè)等號(hào)成立的條件是復(fù)數(shù)z₁,z₂對(duì)應(yīng)的向量反向共線,第二個(gè)等號(hào)成立的條件是復(fù)數(shù)z₁,z₂對(duì)應(yīng)的向量同向共線.

解:法一:由已知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上,設(shè)ω=1+i+z,∴z=ω-1-i.

∴|z|=|ω-(1+i)|=2.∴復(fù)數(shù)ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以(1,)為圓心,半徑為2的圓上,此時(shí)圓上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)ω_A的模有最大值,圓上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)ω_B的模有最小值.如圖,故|1+i+z|_max=4,|1+i+z|_min=0.

法二:利用公式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.

∵|z|=2,

∴||z|-|1+i||≤|z+1+i|≤|z|+|1+i|,

∴0≤|z+1+i|≤2+2.

∴|1+i+z|_max=4,|1i+z|_min=0.