Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁+a₄=-

7

16

，且S₁，S₃，S₂成等差，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），記T_n=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2，n∈N₊恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由b_n=n，an=(-

1

2

)n，可得

|bn|

|an|

=n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”即可得到T_n．（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2，n∈N₊恒成立?m≥

n-1

2n+1-1

對(duì)n≥2恒成立．通過(guò)研究右邊的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵S₁，S₃，S₂成等差，
∴2S₃=S₁+S₂，
∴2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得2q²+q=0，q≠0，解得q=-

1

2

．
又a₁+a₄=-

7

16

，a1+a1q3=-

7

16

，∴a1[1+(-

1

2

)3]=-

7

16

，解得a1=-

1

2

，
∴an=-

1

2

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n．
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n，∴

|bn|

|an|

=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2，n∈N₊恒成立，則（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]，
∴m≥

n-1

2n+1-1

對(duì)n≥2恒成立．
令f（n）=

n-1

2n+1-1

，f(n+1)-f(n)=

n

2n+2-1

-

n-1

2n+1-1

=

(2-n)•2n+1-1

(2n+2-1)(2n+1-1)

＜0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n+1）＜f（n），f（n）為減函數(shù)，f(n)≤f(2)=

1

7

．∴m≥

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、數(shù)列的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．