Question

【題目】某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算，每噴灑個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度 （單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式，近似為

,若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和. 由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.

（1）若一次噴灑個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次噴灑個(gè)單位的去污劑，天后再嗩灑個(gè)單位的去污劑，要使接來的天中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值（精確到，參考數(shù)據(jù): 取）.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用，所以解不等式，分段求解得：當(dāng)時(shí), 令,解得.當(dāng)時(shí), 令,解得.所以 ,（2）第一次噴灑個(gè)單位的去污劑，天后濃度為，再嗩灑個(gè)單位的去污劑，接來的天中濃度為，因此接來的天中總濃度為，其中，由題意要求總濃度最小值不小于4，可根據(jù)基本不等式得總濃度最小值為，解不等式，即可得的最小值為.

試題解析：（1）因為一次噴灑個(gè)單位的去污劑, 所以空氣中釋放的濃度為,

當(dāng)時(shí), 令,解得,所以.

當(dāng)時(shí), 令,解得,所以.于是得,即一次投放個(gè)單位的去污劑, 有效去污時(shí)間可達(dá)天.

（2）設(shè)從第一次噴灑起, 經(jīng)天, 濃度,

因?yàn)?/span>,而,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 有最小值為.

令,解得的最小值為.