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某校高三數學競賽初賽考試后,對考生成績進行統(tǒng)計(考生成績均不低于90分,滿分150分),將成績按如下方式分成六組,第一組[90,100)、第二組[100,110)…第六組[140,150].如圖為其頻率分布直方圖的一部分,若第四、五、六組的人數依次成等差數列,且第六組有4人.
(Ⅰ)請補充完整頻率分布直方圖,并估計這組數據的平均數M;
(Ⅱ)現根據初賽成績從第四組和第六組中任意選2人,記他們的成績分別為x,y.若|x-y|≥10,則稱此二
人為“黃金幫扶組”,試求選出的二人的概率P1;
(Ⅲ)以此樣本的頻率當作概率,現隨機在這組樣本中選出的3名學生,求成績不低于120分的人數ξ分布列及期望.
【答案】分析:(Ⅰ)設第四,五組的頻率分別為x,y,則2y=x+0.005×10,x+y=1-(0.005+0.015+0.02+0.035)×10,解得x=0.15,y=0.10,從而得出直方圖和平均數M.
(Ⅱ)依題意先求出第四組人數,然后能夠求出選出的二人的概率P1
(Ⅲ)依題意樣本總人數為,成績不低于120分人數為80×(0.05+0.10+0.15)=24,故在樣本中任選1人,其成績不低于120分的概率為,又由已知ξ的可能取值為0,1,2,3,由此能求出ξ的分布列和期望.
解答:解:(Ⅰ)設第四,五組的頻率分別為x,y,則2y=x+0.005×10①x+y=1-(0.005+0.015+0.02+0.035)×10②由①②解得x=0.15,y=0.10(2分)
從而得出直方圖(如圖所示)
(3分)
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5(4分)
(Ⅱ)依題意第四組人數為,故(6分)
(Ⅲ)依題意樣本總人數為,成績不低于120分人數為80×(0.05+0.10+0.15)=24(7分)
故在樣本中任選1人,其成績不低于120分的概率為
又由已知ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=0.337,P(ξ=1)=0.450,P(ξ=2)=0.188,P(ξ=3)=0.025.
故ξ的分布列如下:
ξ123
P0.3370.4500.188 0.025
Eξ=0×0.337+1×0.450+2×0.188+3×0.025=0.901.(12分)
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和期望,解題時要合理地運用方程思想,同時要注意二項分布的靈活運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網某校高三數學競賽初賽考試后,對90分以上(含90分)的成績進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示.若130~140分數段的人數為2人.
(1)估計這所學校成績在90~140分之間學生的參賽人數;
(2)現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人,形成幫扶學習小組.若選出的兩人成績之差大于20,則稱這兩人為“黃金搭檔組”,試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率.

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(Ⅰ)請補充完整頻率分布直方圖,并估計這組數據的平均數M;
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(Ⅱ)若不低于120分的同學進入決賽,不低于140分的同學為種子選手,完成下面2×2
列聯表(即填寫空格處的數據),并判斷是否有99%的把握認為“進入決賽的同學
成為種子選手與專家培訓有關”.
a≥-
1
2
[140,150] 合計
參加培訓 5 8
未參加培訓
合計 4

附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k0 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(Ⅰ)請補充完整頻率分布直方圖,并估計這組數據的平均數M;(Ⅱ)若不低于120分的同學進入決賽,不低于140分的同學為種子選手,完成下面2×2列聯表(即填寫空格處的數據).
[120,140) [140,150] 合計
參加培訓 5 8
未參加培訓
合計 4

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(1)估計這所學校成績在90~140分之間學生的參賽人數;
(2)估計參賽學生成績的中位數;
(3)現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人,形成幫扶學習小組,若選出的兩人成績之差大于20,則稱這兩人為“黃金搭檔組”,試求出的兩人為“黃金搭檔組”的概率.

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