Question

平面內(nèi)有n條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條或三條以上過同一點，設(shè)這n條直線將平面分割成的區(qū)域為f(n)，探求：f(n)．

Answer 1

答案：
解析：

導(dǎo)思：平面內(nèi)的n條直線研究起來比較抽象、陌生、困難，我們可從n的最少取值開始，逐一探索研究，直至找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律來猜測． 　　探究：當(dāng)n＝1時，一條直線將平面一分為二，∴f(1)＝2． 　　當(dāng)n＝2時，這兩條直線不平行，只相交，將平面分為4份，∴f(2)＝4． 　　當(dāng)n＝3時，平面內(nèi)這三條直線兩兩相交，且不共點，將平面分為7份，實質(zhì)上是在兩條直線的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分割． 　　設(shè)l1、l2相交于P1，將平面分為S1、S2、S3、S4四個區(qū)域，如圖2－1－16所示，若l3不過P1，與l1、l2分別交于P2、P3，則l3又將S2、S3、S4都一分為二，共6個區(qū)域，再加上S1共7個區(qū)域，比n＝2時多了3個區(qū)域． 　　若n＝4時，設(shè)l4不過P1、P2、P3，分別與l1、l2、l3交于P4、P5、P6，又將l1、l2、l3的四 　　個區(qū)域一分為二，即比f(3)多了四個區(qū)域，∴f(4)＝f(3)＋4＝11． 　　由此猜想：f(n)＝f(n－1)＋n． 　　由f(2)＝f(1)＋2； 　　f(3)＝f(2)＋3； 　　f(4)＝f(3)＋4； 　　…… 　　f(n)＝f(n－1)＋n； 　　得f(n)＝f(1)＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n＝．