Question

流行性感冒（簡(jiǎn)稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染�。�某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者總共有8 670人，則11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)11月1日，該市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．則從11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20，公差為50．前n日患者總?cè)藬?shù) S_n=25n²-5n．從第n+1日開(kāi)始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20+（n-1）×50-30=50n-60，公差為-30．項(xiàng)數(shù)為（30-n），其患者總?cè)藬?shù)為T_30-n=-65n²+2445n-14850．利用S_n+T_30-n=8675，即可得出．

解答： 解：設(shè)11月1日，該市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．
則從11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20，公差為50．
前n日患者總?cè)藬?shù) S_n=20n+

n(n-1)

2

×50=25n²-5n．
從第n+1日開(kāi)始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列．
其首項(xiàng)為20+（n-1）×50-30=50n-60，公差為-30．項(xiàng)數(shù)為（30-n），
其患者總?cè)藬?shù)為T_30-n=（30-n）（50n-60）+

(30-n)(29-n)

2

×(-30)
=-65n²+2445n-14850．
由題意可得S_n+T_30-n=8670，即（25n²-5n）+（-65n²+2445n-14850）=8670．
化為n²-61n+588=0，解得n=12（1≤n≤30）．
∴n=12，第12日的新患者人數(shù)為20+（12-1）×50=570．
∴11月12日該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天患者人數(shù)為570．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．