Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）當x＞y＞e-1時，求證：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即證

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，令g（x）=

ex

ln(x+1)

，則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： （I）解：∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=

ax-1

x

，
當a≤0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；
當a＞0時，f'（x）＜0得0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上遞減，在（

1

a

，+∞）上遞增，即f（x）在x=

1

a

處有極小值．
∴當a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，
當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．------------（5分）
（注：分類討論少一個扣一分．）
（II）證明：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即證

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
令g（x）=

ex

ln(x+1)

，
則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，------------（7分）
又∵g′（x）=

ex[ln(x+1)- 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
顯然函數(shù)h（x）=ln（x+1）-

1

x+1

在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）＞1-

1

e

＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴當x＞y＞e-1時，有e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．------------（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．