Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令g（x）=

f(x)

x

，依題意，可求得0＜x＜2或x＜-2時f（x）＞0，從而可求得不等式x²•f（x）＞0的解集．

解答： 解：g（x）=

f(x)

x

，
則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵當(dāng)x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0成立，
∴當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，
∴g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，
∴g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，且g（2）=0，
∴當(dāng)0＜x＜2時，g（x）＞0，于是此時f（x）＞0；
同理可得，當(dāng)x＜-2時，g（x）＜0，于是此時f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集為{x|x＜-2或0＜x＜2}
∴不等式f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集為{x|x＜-2或0＜x＜2}．
故選：D．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查分析與作圖能力，屬于中檔題．