設(shè)m＞3，對于有窮數(shù)列{an}（n=1，2，…，m），令bk為a1，a2，…ak中的最大值，稱數(shù)列{bn}（為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”．數(shù)列{bn}（中不相等項的個數(shù)稱為{an}的“創(chuàng)新階數(shù)”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7，創(chuàng)新階數(shù)為3．考察自然數(shù) 1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列{cn}．
（1）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{cn}；
（2）是否存在數(shù)列{cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù){cn}，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：根據(jù)令bk為a1，a2，…ak中的最大值，稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”，
（1）創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{Cn}，可知其首項是3，第二項是4，第三項是1或2，第四項是5，第五項是2或1，可寫出{Cn}；
（2）假設(shè)存在數(shù)列{Cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)創(chuàng)新數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義，分類討論可求得{Cn}．
解答：解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的數(shù)列{cn}有兩個，即：
①數(shù)列3，4，1，5，2；
②數(shù)列3，4，2，5，1．
（2）假設(shè)存在數(shù)列{cn}，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{Cn}的創(chuàng)新數(shù)列為{en}（n=1，2，…m），
因為em為，c1，c2…cm中的最大值．
所以em=m．由題意知：ek為c1，c2，…ck中最大值，
ek+1為c1，c2，…，ek，ek+1中最大值，
所以ek≤ek+1，且ek∈{，2，…，m}．
若{en}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則d=ek+1-ek≥0，且d∈N，
當d=0時，{en}為常數(shù)列，又em=m，
所以數(shù)列{en}為m，m，…，m，
此時數(shù)列{cn}是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列；
當d=1時，因為em=m，所以數(shù)列{en}為1，2，3，…，m，
此時數(shù)列{cn}是1，2，3，…，m；
當d≥2時，因為em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）×2=2m-2+e1，
又m＞3，e1＞0，所以em＞m，這與em=m矛盾，所以此時{en}不存在，
即不存在{cn}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d≥2的等差數(shù)列．
綜上，當數(shù)列{cn}為：1°首項為m的任意符合條件的數(shù)列；
2°數(shù)列1，2，3，…，m時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
點評：考查學生理解數(shù)列概念，靈活運用數(shù)列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）的設(shè)置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數(shù)列的定義和分類討論的思想，屬難題．
