如圖，在三棱錐S-ABC中，設P、Q為底面△ABC內(nèi)的兩點，且
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
，
AQ
=
2
3
AB
+
1
4
AC
，則VS-ABP：VS-ABQ=
4
5
4
5
．
分析：過P作AB、AC的平行線PD、PE，得到平行四邊形ADPE，利用向量加法法則可得
AP
=
AD
+
AE
，結合題意得到
AD
=
1
5
AC
且
AE
=
2
5
AB
，因此P到AB的距離等于點C到AB距離的
1
5
，所以△ABP的面積等于△ABC面積的
1
5
．同理△ABQ的面積等于△ABC面積的
1
4
，由此結合錐體體積公式即可算出VS-ABP：VS-ABQ的值．
解答：解：過P作AB、AC的平行線PD、PE得平行四邊形ADPE
則向量
AP
=
AD
+
AE

∵
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
，
∴由平面向量的基本定理，可得
AD
=
1
5
AC
且
AE
=
2
5
AB

因此，點P到AB的距離等于點C到AB距離的
1
5

∴
S△ABP
S△ABC
=
1
5

再過Q作AB、AC的平行線QF、QG得平行四邊形AFQG
同理可證
AF
=
1
4
AC
且
AG
=
2
3
AB
，
可得點Q到AB的距離等于點C到AB距離的
1
4
，得
S△ABQ
S△ABC
=
1
4

因此，△ABP的面積與△ABQ的面積之比為
4
5

∵VS-ABP=
1
3
S△ABP•d，VS-ABQ=
1
3
S△ABP•d．其中d為S到平面ABC的距離
∴VS-ABP：VS-ABQ=
4
5

故答案為：
4
5
點評：本題給出三角形ABC內(nèi)的點P、Q滿足的條件，求兩個錐體的體積之比．著重考查了平面向量加法法則、平面向量基本定理及其應用和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．
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