Question

（本小題滿分分）

如圖，在四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

   （Ⅰ）求證：A₁O//平面AB₁C；

   （Ⅱ）求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明：如圖（１），

連結(jié)CO、A₁O、AC、AB₁，……1分

則四邊形ABCO為正方形，所以OC=AB=A₁B₁，

所以，四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，………3分

所以A₁O//B₁C，

又A₁O平面AB₁C，B₁C平面AB₁C

所以A₁O//平面AB₁C………………6分

（Ⅱ）因為D₁A=D₁D，O為AD中點，所以D₁O⊥AD

又側(cè)面A₁ADD₁⊥底面ABCD，

所以D₁O⊥底面ABCD，……………7分

以O為原點，OC、OD、OD₁所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖（2）所示的坐標系，則（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，-1，0）.……8分

所以，…9分

設為平面C₁CDD₁的一個法向量，

由，得，

令，則.……10分

又設為平面AC₁D₁的一個法向量，

由，得，

令，則，……………………11分

則，故所求銳二面角A-C₁D₁-C的余弦值為……12分

 

【解析】略