如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥PE；
（3）求二面角A-PB-E的大�。�
（Ⅰ）∵D、E分別為AB、AC中點，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）連接PD，
∵PA=PB，D為AB中點，
∴PD⊥AB．…．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
則B（1，0，0），P（0，0，
3
），E（0，
3
2
，0），
∴
PB
=（1，0，-
3
），
PE
=（0，
3
2
，-
3
）．
設(shè)平面PBE的法向量
n1
=(x，y，z)，
∴
x-
3
z=0
3
2
y-
3
z=0

令z=
3

得
n1
=(3，2，
3
)…（11分）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量為
n2
=(0，1，0)．…（12分）
設(shè)二面角的A-PB-E大小為θ，
由圖知，cosθ=cos＜
n1
，
n2
＞=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
1
2
，
所以θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小為60°…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求
BN
的模；
（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點，E是線段AB上的點．
（Ⅰ）當E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，點E為棱CC′上任意一點，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點P為棱C′D′的中點，點E為棱CC′的中點，求二面角P-BD-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)，向量且，則     ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知平面向量, 且, 則 (     )
A．B．C．D．

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