Question

（文）如圖，在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段AD₁上運動，給出以下四個命題：
①異面直線A₁P與BC₁間的距離為定值；
②三棱錐D-BPC₁的體積為定值；
③異面直線C₁P與直線CB₁所成的角為定值；
④二面角P-BC₁-D的大小為定值．其中真命題有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：對于①由題意及三棱錐的體積的算法中可以進行頂點可以輪換性求解體積，和點P的位置及直線AD₁與平面BDC₁的位置即可判斷正誤；
對于②三棱錐的底面DBC₁為定值，判斷P到平面DBC₁的距離是否是定值，即可判斷正誤；
對于③由題意及圖形利用異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法及可求解；
對于④由題意及平面具有延展性可知實質為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角；
解答：對于①三棱錐D-BPC₁的體積還等于三棱錐的體積P-DBC₁的體積，而平面DBC₁為固定平面且大小一定，又因為P∈AD₁，而AD₁∥平面BDC₁，所以點A到平面DBC₁的距離即為點P到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，所以①正確；
對于②三棱錐的底面DBC₁為定值，因為AD₁∥BC₁，所以AD₁∥平面DBC₁，P?AD₁，所以P到平面DBC₁的距離是定值，所以三棱錐D-BPC₁的體積為定值；
故②正確；
對于③因為在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段AD₁上運動，有正方體及題意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故這兩個異面直線所成的角為定值90°，故③正確；
對于④因為二面角P-BC₁-D的大小，實質為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角，而這兩個平面為固定的不變的平面所以夾角也為定值，故④正確；
故選D．
點評：本題重點考查了異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法；平面具有延展性及二面角的求法及其定義；三棱錐的體積的體積計算可以進行頂點輪換及線面平行時，直線上任意一點到平面的距離都行等這一結論；考查計算能力，空間想象能力．