Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）滿足a_n+1=a_nb_n+1，bn+1=

bn

1-4 a 2 n

，且點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（1，-1）．
（Ⅰ）求經(jīng)過點(diǎn)P₁，P₂的直線l的方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在P₁，P₂兩點(diǎn)確定的直線l上，求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求對于所有n∈N^*，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k

1 b2b3…bn+1

成立的最大實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b2=

b1

1-4a12

=

1

3

，知P2(

1

3

，

1

3

)．由此知過點(diǎn)P₁，P₂的直線l的方程為2x+y=1．
（Ⅱ）由P_n（a_n，b_n）在直線l上，知2a_n+b_n=1．故b_n+1=1-2a_n+1．由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n-2a_na_n+1．由此知{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由

1

an

=

1

a1

+2(n-1)．，知

1

an

=1+2(n-1)=2n-1．所以an=

1

2n-1

，bn=1-2an=

2n-3

2n-1

．依題意k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)

b2b3bn+1

恒成立．設(shè)F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)

b2b3bn+1

，所以只需求滿足k≤F（n）的F（n）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為b2=

b1

1-4a12

=

1

3

，所以a2=a1b2=

1

3

．所以P2(

1

3

，

1

3

)．（1分）
所以過點(diǎn)P₁，P₂的直線l的方程為2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因為P_n（a_n，b_n）在直線l上，所以2a_n+b_n=1．所以b_n+1=1-2a_n+1．（3分）
由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n（1-2a_n+1）．即a_n+1=a_n-2a_na_n+1．
所以

1

an+1

-

1

an

=2．所以{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列．（5分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得

1

an

=

1

a1

+2(n-1)．
所以

1

an

=1+2(n-1)=2n-1．
所以an=

1

2n-1

．（7分）
所以bn=1-2an=

2n-3

2n-1

．（8分）
依題意k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)

b2b3bn+1

恒成立．
設(shè)F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)

b2b3bn+1

，
所以只需求滿足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因為

F(n+1)

F(n)

=

(1+a1)(1+a2)(1+an)(1+an+1) b2b3bn+2

(1+a1)(1+a2)(1+an) b2b3bn+1

=(1+an+1)

bn+2

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，
所以F（n）（x∈N^*）為增函數(shù)．（12分）
所以F(n)min=F(1)=

2

3

=

2 3

3

．
所以k≤

2 3

3

．所以kmax=

2 3

3

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選用公式．