Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，短軸長(zhǎng)為2，
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線(xiàn)l：y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N(M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn))，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，
則，解得，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
(2)由方程組消去y，得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0，
由題意Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0， ①
設(shè)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，
則，
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為A(2，0)，
∴(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=0，
即(1+k²)x₁x₂+(km-2)(x₁+x₂)+m²+4=0，
也即，
整理得7m²+16mk+4k²=0，解得m=-2k或，均滿(mǎn)足①．
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y=kx-2k，過(guò)定點(diǎn)(2，0)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，過(guò)定點(diǎn)，故直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為。